「数学は発明か、発見か」——ブラックホールを証明した数学者の問い

数学は、人間がいなくなっても存在し続けるのだろうか。

プリンストン大学の数学者セルジュ・クレーネルマンは、この問いに対して「イエス」と答える。彼は数十年をかけてアインシュタインの一般相対性理論が予測するブラックホールの「安定性」を数学的に証明した人物だ。そして今、彼は別の戦線でも闘っている。「数学は人間の発明ではなく、発見である」という、数学界で最も古く、最も論争的な命題をめぐる哲学的な戦いである。

ブラックホールは「崩壊しない」——証明までの長い道のり

クレーネルマンが取り組んだ問題は、一見シンプルに聞こえる。「ブラックホールは、わずかな乱れを受けても安定して存在し続けるか？」というものだ。しかし、これは100年近く未解決だった難問だった。

アインシュタインが一般相対性理論を発表したのは1915年。その方程式はブラックホールの存在を予測したが、それが「安定した構造」であるかどうかは、長らく数学的に示されていなかった。もしブラックホールがわずかな摂動（乱れ）で崩壊してしまうなら、私たちが観測している宇宙の姿は根本から揺らぐことになる。

クレーネルマンは同僚たちとともに、この「カー・ブラックホール安定性問題」に挑み続けた。その証明は最終的に900ページを超える論文として結実した。数学的な「美しさ」とは程遠い、膨大な計算と論理の積み重ね。しかし彼にとって、それは単なる技術的な達成ではなかった。

「この証明が意味するのは、数学が宇宙の実在と深く結びついているということだ」と彼は語る。方程式が現実を記述するのではなく、現実そのものが数学的な構造を持っている——そう彼は確信している。

「数学は発明ではない」——プラトン主義者の孤独な戦い

ここから話は、純粋な数学の世界を超えて哲学へと踏み込む。

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数学の本質をめぐる議論は、大きく二つの立場に分かれる。一方は「数学的プラトン主義」と呼ばれる立場で、数や幾何学的構造は人間の思考とは独立して存在するという考え方だ。もう一方は「数学的形式主義（または構成主義）」で、数学とは人間が作り上げたルールと記号の体系に過ぎないとする。

クレーネルマンは明確にプラトン主義の側に立つ。彼の論拠はシンプルだ。「π（円周率）や素数の分布は、人間が決めたものではない。誰も発明していないのに、そこにある。」

さらに彼が強調するのは、数学と物理学の「不合理な一致」だ。19世紀に純粋数学として発展したリーマン幾何学は、当時は何の実用的目的もなかった。ところが20世紀になって、アインシュタインがそれを一般相対性理論の言語として使った。誰かが「宇宙を記述するために」作ったわけではない数学が、宇宙の記述に完璧に適合した。この「不合理な有効性」（物理学者ユージン・ウィグナーの言葉）を、単なる偶然と片付けることができるだろうか。

もちろん、反論もある。「数学は文化的産物だ」という立場からは、異なる文明が異なる数学を発展させてきた事実が指摘される。また、「数学的対象が物理的世界と独立して存在する」とはどういう意味か、という問いに答えることは容易ではない。数学的プラトン主義は直感的には魅力的だが、「数学的対象はどこにあるのか」という問いに対して、まだ誰も満足のいく答えを出していない。

AI時代に蘇る問い——機械は数学を「理解」できるか

この古い哲学的論争が、今なぜ重要なのか。

答えの一つは、AIの台頭にある。大規模言語モデルは数学の問題を解き、定理の証明を補助し、時に新しい数学的パターンを「発見」するように見える。2023年にはDeepMindのAIが、組合せ論の未解決問題に新しい解を見つけた。

しかしここでクレーネルマンの問いが刺さる。AIは数学を「理解」しているのか、それとも「模倣」しているのか。もし数学がプラトン主義的な意味で実在するなら、その実在に「アクセス」できるのは、人間の直観や洞察だけなのかもしれない。あるいは、AIも同じ数学的実在に触れているのかもしれない。

日本の文脈で考えると、この問いは特別な意味を持つ。東京大学や京都大学では、AIによる数学研究支援のプロジェクトが進んでいる。富士通やNECは量子コンピューティングと数学的最適化の融合を研究している。しかし、機械が「発見」した数学的真理を、私たちはどう受け止めるべきか。それは人間の知的達成と同じ価値を持つのか。

数学教育の現場でも、この問いは無縁ではない。日本の数学教育は長らく「手続きの習得」を重視してきたが、もし数学が発見の営みであるなら、教育の目的も変わってくるはずだ。計算を速くこなすことより、数学的構造を「感じ取る」直観を育てることが、より本質的になるかもしれない。