80年来の謎、ついに解明：なぜ「シンプレックス法」は理論と裏腹に高速なのか？

リード

現代のサプライチェーンや物流を支える基盤アルゴリズム「シンプレックス法」。80年近くにわたり、実用上は常に高速に動作することが知られてきました。しかし理論上は、計算に指数関数的な時間がかかる「最悪のケース」が存在することが証明されており、長年、理論と実践の間に奇妙な溝がありました。このほど、二人の研究者がこのパラドックスに終止符を打つ画期的な論文を発表。なぜシンプレックス法が常に高速なのか、その数学的な理由を初めて明らかにしました。

偶然の宿題から生まれたアルゴリズム

物語は1939年、カリフォルニア大学バークレー校の大学院生だったジョージ・ダンツィグが統計学の授業に遅刻したことから始まります。彼は黒板に書かれていた2つの問題を宿題だと思い込み、数日かけて解いて提出しました。後に指導教官から、それが統計学における未解決の有名問題であったことを知らされます。この功績は彼の博士論文の基礎となり、第二次世界大戦後、新設された米国空軍の数学アドバイザーに就任するきっかけとなりました。

当時、空軍は限られた資源（兵士、物資、航空機）をいかに効率的に配分するかという「最適化問題」に頭を悩ませていました。この課題に応えるため、ダンツィグは10年近く前に黒板の問題を解いた際の数学的手法を発展させ、「シンプレックス法」を考案したのです。

理論と実践のパラドックス

シンプレックス法は、最適化問題を幾何学的な問題に変換します。例えば、家具会社が制約（月産50個まで、椅子は特殊な木材のため24個まで等）の中で利益を最大化する問題を考えます。この制約を多次元空間の境界線として描くと、「多面体（polyhedron）」と呼ばれる複雑な立体ができます。アルゴリズムの仕事は、この多面体の頂点をたどり、最も利益が高い「頂点」に最短で到達するルートを見つけることです。

この方法は非常に効率的で、今なお物流業界などで広く使われています。フランス国立科学研究センター（CNRS）のソフィー・ユイベルツ氏が「常に高速で、遅くなった例は誰も見たことがない」と語るほどです。

しかし、1972年に数学者たちは、このアルゴリズムが迷路のように非常に長い道のりをたどってしまう「最悪のケース」が存在し、その場合の計算時間が制約の数に対して指数関数的に増加する可能性を証明しました。これは、実用上の速度と理論的な脆弱性との間に大きな矛盾を生み、専門家たちを長年悩ませてきたのです。

指数時間 vs. 多項式時間

計算の複雑さを示す指標です。制約数を n とした場合、計算時間が 2n のように急増するのが「指数時間」で、事実上、大規模な問題は解けません。一方、n2 のように増加が緩やかなのが「多項式時間」で、はるかに効率的とされます。

ランダム性が導いた突破口

この問題に大きな転機が訪れたのは2001年。ダニエル・スピールマン氏とシャンファ・タン氏が、経路選択にわずかな「ランダム性」を導入することで、最悪のケースを回避し、計算時間を多項式時間に抑えられることを証明しました。これは画期的な成果でしたが、保証された計算時間はまだ実用レベルにはほど遠いものでした。

そして今回、ユイベルツ氏とミュンヘン工科大学の博士課程学生であるエレオン・バッハ氏は、この研究をさらに発展させました。彼らはより巧みにランダム性を活用するアルゴリズムを設計し、計算時間が従来考えられていたよりもはるかに高速であることを理論的に証明。さらに、スピールマンとタンの手法を発展させたモデルでは、これ以上速くはできないという理論的な限界値であることも示しました。

この成果について、タン氏自身が「見事だ」と称賛し、ボン大学のハイコ・レグリン氏も「この手法の実用的な効率性について、初めて真に説得力のある説明を提供するものだ」と高く評価しています。

今後の展望

この研究は、シンプレックス法に関する長年の懸念を払拭する理論的な成果ですが、直接的な応用がすぐに生まれるわけではありません。しかし、エディンバラ大学のジュリアン・ホール氏が指摘するように、「指数的な複雑性を恐れる人々を説得しやすくなった」という点で、ソフトウェアへの信頼性を数学的に裏付けています。

ユイベルツ氏は、次の目標は計算時間が制約数に比例して増加する「線形時間」の達成だと語ります。しかし、それは「この研究全体の北極星」であり、全く新しい戦略が必要で、達成はまだ遠い未来の話だと付け加えています。